آشنایی با مثلثات (1)

9 دي 1388مقالات سایت  

آموزشگاه تجارت برتر تحت نظر سازمان فنی و حرفه ای               تلفن تماس :6286950 -0711 و 09179153552

Web site: http://WWW.AFX24.COM &WWW.AFX24.IR

آشنايي با مثلثات

تاريخ علم به آدمى يارى مى رساند تا «دانش» را از «شبه دانش» و «درست» را از «نادرست» تشخيص دهد و در بند خرافه و موهومات گرفتار نشود. در ميان تاريخ علم، تاريخ رياضيات و سرگذشت آن در بين اقوام مختلف ، مهجور واقع شده و به رغم اهميت زياد، از آن غافل مانده اند. در نظر داريم در اين فضاى اندك و در حد وسعمان برخى از حقايق تاريخى( به خصوص در مورد رشته رياضيات) را برايتان روشن و اهميت زياد رياضى و تاريخ آن را در زندگى روزمره بيان كنيم. براى بسيارى از افراد پرسش هايى پيش مى آيد كه پاسخى براى آن ندارند: چه شده است كه محيط دايره يا زاويه را با درجه و دقيقه و ثانيه و بخش هاى شصت شصتى اندازه مى گيرند؟ چرا رياضيات با كميت هاى ثابت ادامه نيافت و به رياضيات با كميت هاى متغير روى آوردند؟ مفهوم تغيير مبناها در عدد نويسى و عدد شمارى از كجا و به چه مناسبت آغاز شد؟ يا چرا در سراسر جهان عدد نويسى در مبناى ?? را پذيرفته اند، با اينكه براى نمونه عدد نويسى در مبناى ?? مى تواند به ساده تر شدن محاسبه ها كمك كند؟ رياضيات از چه بحران هايى گذشته و چگونه راه خود را به جلو گشوده است؟ چرا جبر جانشين حساب شد، چه ضرورت هايى موجب پيدايش چندجمله اى هاى جبرى و معادله شد؟ و… براى يافتن پاسخ هاى اين سئوالات و هزاران سئوال مشابه ديگر در كليه رشته ها، تلاش مى كنيم راه را نشان دهيم، پيمودن آن با شماست

پيدايش مثلثات

از نامگذارى «مثلثات» مى توان حدس زد كه اين شاخه از رياضيات دست كم در آغاز پيدايش خود به نحوى با «مثلث» و مسئله هاى مربوط به مثلث بستگى داشته است. در واقع پيدايش و پيشرفت مثلثات را بايد نتيجه اى از تلاش هاى رياضيدانان براى رفع دشوارى هاى مربوط به محاسبه هايى دانست كه در هندسه روبه روى دانشمندان بوده است. در ضمن دشوارى هاى هندسى، خود ناشى از مسئله هايى بوده است كه در اخترشناسى با آن روبه رو مى شده اند و بيشتر جنبه محاسبه اى داشته اند. در اخترشناسى اغلب به مسئله هايى بر مى خوريم كه براى حل آنها به مثلثات و دستورهاى آن نيازمنديم. ساده ترين اين مسئله ها، پيدا كردن يك كمان دايره (بر حسب درجه) است، وقتى كه شعاع دايره و طول وتر اين كمان معلوم باشد يا برعكس، پيدا كردن طول وترى كه طول شعاع دايره و اندازه كمان معلوم باشد. مى دانيد سينوس يك كمان از لحاظ قدر مطلق برابر با نصف طول وتر دو برابر آن كمان است. همين تعريف ساده اساس رابطه بين كمان ها و وترها را در دايره تشكيل مى دهد و مثلثات هم از همين جا شروع شد. كهن ترين جدولى كه به ما رسيده است و در آن طول وترهاى برخى كمان ها داده شده است متعلق به هيپارك، اخترشناس سده دوم ميلادى است و شايد بتوان تنظيم اين جدول را نخستين گام در راه پيدايش مثلثات دانست. منه لائوس رياضيدان و بطلميوس اخترشناس (هر دو در سده دوم ميلادى) نيز در اين زمينه نوشته هايى از خود باقى گذاشته اند. ولى همه كارهاى رياضيدانان و اخترشناسان يونانى در درون هندسه انجام گرفت و هرگز به مفهوم هاى اصلى مثلثات نرسيدند. نخستين گام اصلى به وسيله آريابهاتا، رياضيدان هندى سده پنجم ميلادى برداشته شد كه در واقع تعريفى براى نيم وتر يك كمان _يعنى همان سينوس- داد. از اين به بعد به تقريب همه كارهاى مربوط به شكل گيرى مثلثات (چه در روى صفحه و چه در روى كره) به وسيله دانشمندان ايرانى انجام گرفت. خوارزمى نخستين جدول هاى سينوسى را تنظيم كرد و پس از او همه رياضيدانان ايرانى گام هايى در جهت تكميل اين جدول ها و گسترش مفهوم هاى مثلثاتى برداشتند. مروزى جدول سينوس ها را تقريبا ?? درجه به ?? درجه تنظيم كرد و براى نخستين بار به دليل نيازهاى اخترشناسى مفهوم تانژانت را تعريف كرد. جدى ترين تلاش ها به وسيله ابوريحان بيرونى و ابوالوفاى بوزجانى انجام گرفت كه توانستند پيچيده ترين دستورهاى مثلثاتى را پيدا كنند و جدول هاى سينوسى و تانژانتى را با دقت بيشترى تنظيم كنند. ابوالوفا با روش جالبى به يارى نابرابرى ها توانست مقدار سينوس كمان ?? دقيقه را پيدا كند و سرانجام خواجه نصيرالدين طوسى با جمع بندى كارهاى دانشمندان ايرانى پيش از خود نخستين كتاب مستقل مثلثات را نوشت. بعد از طوسى، جمشيد كاشانى رياضيدان ايرانى زمان تيموريان با استفاده از روش زيبايى كه براى حل معادله درجه سوم پيدا كرده بود، توانست راهى براى محاسبه سينوس كمان يك درجه با هر دقت دلخواه پيدا كند. پيشرفت بعدى دانش مثلثات از سده پانزدهم ميلادى و در اروپاى غربى انجام گرفت. يك نمونه از مواردى كه ايرانى بودن اين دانش را تا حدودى نشان مى دهد از اين قرار است: رياضيدانان ايرانى از واژه «جيب» (واژه عربى به معنى «گريبان») براى سينوس و از واژه «جيب تمام» براى كسينوس استفاده مى كردند. وقتى نوشته هاى رياضيدانان ايرانى به ويژه خوارزمى به زبان لاتين و زبان هاى اروپايى ترجمه شد، معناى واژه «جيب» را در زبان خود به جاى آن گذاشتند: سينوس. اين واژه در زبان فرانسوى همان معناى جيب عربى را دارد. نخستين ترجمه از نوشته هاى رياضيدانان ايرانى كه در آن صحبت از نسبت هاى مثلثاتى شده است، ترجمه اى بود كه در سده دوازدهم ميلادى به وسيله «گرادوس كره مونه سيس» ايتاليايى از عربى به لاتينى انجام گرفت و در آن واژه سينوس را به كار برد. اما درباره ريشه واژه «جيب» دو ديدگاه وجود دارد: «جيا» در زبان سانسكريت به معناى وتر و گاهى «نيم وتر» است. نخستين كتابى كه به وسيله فزازى (يك رياضيدان ايرانى) به دستور منصور خليفه عباسى به زبان عربى ترجمه شد، كتابى از نوشته هاى دانشمندان هندى درباره اخترشناسى بود. مترجم براى حرمت گذاشتن به نويسندگان كتاب، «جيا» را تغيير نمى دهد و تنها براى اينكه در عربى بى معنا نباشد، آن را به صورت «جيب» در مى آورد. ديدگاه دوم كه منطقى تر به نظر مى آيد اين است كه در ترجمه از واژه فارسى «جيپ»- بر وزن سيب- استفاده شد كه به معنى «تكه چوب عمود» يا «ديرك» است. نسخه نويسان بعدى كه فارسى را فراموش كرده بودند و معناى «جيپ» را نمى دانستند، آن را «جيب» خواندند كه در عربى معنايى داشته باشد.

مثلثات

مثلثات يکي از شاخه‌هاي رياضيات است که با سه‌گوش‌ها و زاويه‌ها و تابع‌هاي مثلثاتي مثل سينوس و کسينوس سر و کار دارد. مثلات در بسياري از شاخه‌هاي رياضيات محض و همچنين رياضيات کاربردي کاربرد دارد. به همين ترتيب مثلثات در علوم طبيعي نيز داراي کاربرد است. احتمالاً مثلثات براي استفاده در ستاره شناسي ايجاد شده و کاربردهاي اوليه آن نيز در همين باره بوده است.

مثلثات در باره زاويه و دوران و تغييرات و جابجاييهايي از دوران است در شكل يك فرض كنيم طوع شعاع آ او برابر يا يك باشد و نقطه آ حول مركز او خلاف ساعتگرد دوران كند در طبيعت پيديه هاي مشابه فراوان است مثلا دوران ماه دور كره زمين و دوران خورسيد و ميلياردها دوراني و چرخشي ديگر به روشني مي بينيم كه دوران نقطه آ با تغييرات زاويه زد نيز قابل بيان است

در شكل دو مي توانيم ببينيم كه با دوران نقطه آ به دور مركز او اندازه زاويه زد و همچنين مكان نقاط ام و ان تغيير مي كند و به عبارتي ديگر طول هاي او ام برابر است با آ ان و او ان تغيير مي كند

اينك در مثلث او آ ان دو تابع سينوس زاويه زد و كسينوس زاويه زد تعريف مي كنيم سينوس زد برابر است با آ ان لز ْنجا كه فرض كرديم شعاع دايره برابر يك باشد لذا يعني در مثلث قائم الزاويه اي كه طول وترش برابر با يك باشد سينوس زاويه برابر است با طول ضلع روبروي زاويه مقدار سينوس زاويه بين منفي يك تا مثبت يك نغيير مي كن نمودار آن و نمودار قدر مطلق آن به شكل زير است

كسينوس زد برابر است با او ان از آنجا كه فرض كرديم شعاع دايره برابر يك باشد لذا يعني در مثلث قائم الزاويه اي كه طول و ترش برابر با يك باشد كسينوس زاويه برابر است با طول ظلع كنار زاويه مقدار كسينوس زاويه بين منفي يك تا مثبت يك تغيير مي كند نمودار آن و نمودار قدر مطلق آن به شكل زير است

نمودارهاي سينوس و كسينوس كه به شكل موج متناوب مي باشند كاربرد وسيعي در علوم و فناوري دارند و همينجا ذكر مي شود كه با تركيب امواج ساده سينوسي و كسينوسي مي توان هر موج ديگري را ايجاد كرد واين موضوع بر اساس قضيه فوريه آ او برابر با يك مي باشد آنگاه سينوس زد فاصله عمودي از مركز و كسينوس ايكس فاصله افقي نقطه از مركز خواهد بود

اگر طول شعاع غير از يك و مثلا آر باشد آنگاه آر سينوس زد و كسينوس زد بترتيب فاصله هاي عمودي و افقي نقطه از مركز خواهد بود در شكل سه در بالاي اين صفحه مي توانيم ببينيم كه با دوران نقطه آ به دور مركز او علاوه بر اندازه زاويه زد و مقادير سينوس زد و كسينوس زد مكان نقاط آر و كيو نيز تغيير مي يابد و اين معائل آنست كه بگوييم طول پي كيو و اس آر نغيير مي كند

اينك در مثلث او آ ان تعريف مي كنيم نسبت ضلع روبروي زاويه به ضلع كناري زاويه نسبت ضلع كناري زاويه روبرو ي زاويه

بنا به دائره المعارف بريتانيكا، مثلثات شاخه اي از رياضيات است كه با توابعي معين از زوايا و كاربردشان در محاسبات سروكار دارد. در مثلثات از شش تابع استفاده مي شود كه نام و نشانه مخفف آنها

سينوس كسينوس تانژانت كسكانت و سكانت و كتانژانت است اين شش تابع در رابطه با مثلث شكل زير تعريف مي شود براي مثال مثلث قائم الزاويه شامل زاويه آ مي باشد و نسبت طول ضلع روبروي زاويه آ به طول وتر مثلث را سينوس زاويه آ مي ناميم و با سينوس آ نشان مي دهيم پنج تابع ديگر نيز به همين سان تعريف مي شوند

در گذشته اين توابع را كه صفت زاويه و مستقل از اندازه مثلث مي باشند براي زاواياي صفر تا دو ان راديان صفر تا منفي سيصو شصت درجه محاسبه كرده و در جدولي چاپ مي كردند كه اينك با وجود كامپيوتر آن جدولها منسوخ شده است با توابعي مثلثاتي مي توانيم زاويه ها و فواصل مجهول اشكال هندسي را با داشتن زاويه ها و فاصله هاي معلوم يا اندازه گيري شعاع محاسبه نماييم

در مثلث آ‌ب س بالا كه اندازه اش مهم نيست فرض كنيد آ‌ب بتواند در حول نقطه آ و در خلاف ساعتگرد دوران كند در اينصورت زاويه آ ب س كه آنرا ايكس مي ناميم مي توانيم هر مقداري بين صفر تا سيصدو شصت درجه داشته باشد همچنين فرض كنيم كه حركت را با گام اندازه مي گيريم كه مي تواند هر واحد طول مانند متر يا سانتيمتر و كيلومتر و ... باشد

در اينصورت با توجه به مثلث قائم الزاويه آ ب س بالا توابع مثلثاتي را براي هر ايكس معين بدينسان تعريف و تشريح م كنيم كه نشانه تلفظ مقدار حركت در اين امتداد را نشان مي دهد هر گاه در اين امتداد يك گام حركت كنيم سينوس ايكس عمودي و كسينوس ايكس آ ب س... مي باشد

هر دانشجوي جدي باشد روش اثبات روابط زيررا بياموزد زيرا كاربردهاي بسيار وسيعي در سراسر رياضيات دارند بعنوان مثال ما در شكل زير قانون كسينوسها را اثبات مي كنيم شما نيز ساير روابط را اثبات كنيد

ادامه مقاله در بخش دوم

نویسنده : علی رضا خامسی

جهت دریافت مطالب ذیل بصورت فایل pdf روی موضوع کلیک فرمائید ، لطفا به این نکته توجه بفرمایید که پسورد تمامی فایل ها www.afx24.comمی باشد.

تماس با ما

 

صفحات سایت: